其它类型的混料模型

加倒数项或对数项的混料试验设计

多数情况下可以用多项式模型来描述混料系统，因为响应函数一般多是连续函数，可以展开成幂函数，取若干项就可以较好地近似描述系统。但是，在一些混料系统中，由于响应曲面形状比较复杂，只取几项来描述混料系统是不够的，而多取几项从实际情况看又是不允许的。一般来说，响应曲面方法所用多项式模型的阶数不大于3。这样，为了更好地描述这些混料系统，就要考虑其它类型的混料数学模型。

为了研究当一个或多个分量的值趋于零(即趋于利益区域的边界)时，响应值产生的急剧变化，Draper和John在1977年首先在混料多项式(格子或中心多项式)中加入某些或全部分量的倒数项1/X_i 提出具有倒数项的多项式的混料模型。

y＝ΣβX_i＋Σγ1/X_i

1/X的泰勒展开式是：

1/X＝1－(X－1)＋(X－1)²－(X－1)³＋(X－1)⁴－……

它含有X、X²、X³、……项，因此，1/X能看作多项式的特殊形式。

当X→0时，1/X→∞。我们假定实际的试验区域不包括这个0边界，对X限制为：

X_i≥ε_i＞0 ，i＝1，2，……，q

其中ε_i是由实际问题给出的充分小的一个数。即，试验允许在靠近0边界的地方，但不能在0边界上进行。需要把实际分量变为拟分量。

如果下列混料约束存在时， X_i≥a_i＞0 ，i＝1，2，……，q， ∑a_i＜1

令 a_i’＝a_i－ε_I，i＝1，2，……，q ，使a_i ＞＞ε_i＞0

再令 X_i’＝(X_i－a_i)/(1－Σa_i) ，

来代替分量X_i。当X_i＝a_i时，X_i’＞0。因此，边界X_i＝a_i不是变换到0边界，而是移动到0边界附近。这样一来，就使得倒数项混料模型在0边界也有意义。

^{，，，，当设计的混料含有X_i＝0，可以加一个小的正数到每个X_i(比如加上c_i)上，为使新产生的变量也为混料分量，考虑变换}

X_i’＝(1－Σc_i)X_i＋c_i ，它满足X_i’≥c_i，c_i＞0，且ΣX_i’＝1。

对于倒数项模型cY 取0.02至0.05之间的值大部分情况是适合的，对于对数项模型c_i 取0.01至0.05之间的值。

对数项模型所描述的混料响应，在0边界附加的极端变化，不如倒数项所描述的那么剧烈的情况。

例：研究辛烷值，共进行9批试验，混料成分是烯烃X₁，芳香烃X₂及饱和烃X₃。

试验号	X₁	X₂	X₃	X₁’	X₂’	X₃’	辛烷值
1	0.010	0.870	0.120	0.029	0.838	0.133	111.6
2	0.541	0.000	0.459	0.529	0.020	0.451	101.3
3	0.427	0.061	0.512	0.421	0.077	0.501	80.6
4	0.022	0.464	0.514	0.041	0.456	0.503	91.0
5	0.007	0.957	0.036	0.027	0.920	0.054	107.0
6	0.414	0.278	0.308	0.409	0.281	0.310	97.0
7	0.648	0.030	0.322	0.629	0.048	0.323	98.6
8	0.162	0.514	0.324	0.172	0.503	0.325	92.2
9	0.008	0.068	0.924	0.028	0.084	0.889	77.8

特别引入注意的是表中三个批号的辛烷值超过100，它们是：

X₁＝0.010，y＝111.5；X₂＝0，y＝101.3；X₃＝0.036，y＝107。

这暗示我们在0边界附近响应可能发生极端变化。我们用拟分量模型来拟合这些数据，拟分量的下界选为0.02，即c₁＝c₂＝c₃＝0.02。这样，1－Σc_i＝0.94，拟分量变换是 X_i’＝X_i(0.94)＋0.02，相对应的拟分量比例分别是：

X₁’＝0.01×(0.94)＋0.02＝0.029，

X₂’＝0.87×(0.94)＋0.02＝0.838，

X₃’＝0.12×(0.94)＋0.02＝0.133。

序贯地用拟分量混料多项式(带倒数项几不带倒数项)来拟合表中的数据，所得的方程列在下表。用高值或低误差方差估计值来衡量，拟合得最好的模型是线性项加所有倒数项的模型，即模型y₇。其次是模型y₄和y₆。

拟合的混料回归模型	R_A²	S²
y₁＝110.0X₁’＋110.8X₂’＋71.1X₃’	0.663	42.1
y₂＝145.8X₁’＋114.1X₂’＋73.9X₃’ －96.1 X₁’X₂’－77.5 X₁’X₃’－0.5 X₂’X₃’	0.530	58.7
y₃＝120.8X₁’＋ 98.3X₂’＋59.1X₃’＋0.4/X₁’	0.712	36.0
y₄＝ 96.8X₁’＋ 13.2X₂’＋66.9X₃’＋0.4/X₂’	0.798	25.2
y₅＝110.1X₁’＋111.2X₂’＋71.0X₃’－0.03/X₃’	0.597	50.3
y₆＝105.4X₁’＋105.1X₂’＋60.4X₃’＋0.2/X₁’＋0.3/X₂’	0.793	25.9
y₇＝117.2X₁’＋111.2X₂’＋48.5X₃’ ＋0.5/X₁’＋0.3/X₂’－1.1/X₃’	0.888	14.0

用修正了的决定系数来判断模型拟合的优良性，该值越接近1越好。

y₄增加了1/X₂’项，相对于y₁有较大的改进。这种改进表现在R_A² 值上，从0.663变为0.798，增加了0.135(或者是，S²值从42.1减少至25.2，42.1－25.2＝16.9，近似减少了％)。

y₇增加了三个倒数项，其检验结果改进了很多，R_A²值增加到0.888，S²值减少至14.0。这个例子充分说明了，为了描述响应在边界附近的极端变化，有必要在混料多项式中加进倒数项。

对数项模型所描述的混料响应，在0边界附加的极端变化，不如倒数项所描述的那么剧烈的情况。由于ln X的导数是1/X，从多项式次数的角度可以说1/X的次数比ln X低。从工程意义来说，试验者一般都要求得到的回归方程尽可能简单，次数尽可能低，使得运用回归方程来解释系统和进行预测等统计推断时更为容易、简便。

辛烷值9批试验点分布图

单纯型混料设计

由于ln X的导数是1/X，从多项式次数的角度可以说1/X的次数比ln X低。从工程意义来说，要求得到的回归方程尽可能简单，次数尽可能低，使得运用回归方程来解释系统和进行预测时更为容易、简便。

在拟和时，可先用倒数项拟合，如不适用，再用对数最好模型。

下图可以看出，拟合什么样的模型与试验点的位置有密切的关系，不是想配什么项就能配什么项。

顶点X₁相当于1，相对的底边是0，若想设ln X₁项，则靠近底边的地方要有试验点，否则无法描述X₁在0 附近的变化规律。同样，X₂和X₃若是设倒数项，在其底边附近必须设点。若拟合三项乘积，在单纯形中心附近设点。

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